metoda pembuktian dalam matematika

METODA PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA

BUKTI adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan/proposisi.

Acuan dalam pembuktian : Aturan Logika matematika

Mengapa perlu membuktikan ?

1.  To establish a fact with certainty

2.  To gain understanding

3.  To communicate an idea to others

4.  For the challenge

5. To create something beautiful

6.  To construct a large mathematical theory

BEBERAPA METODA PEMBUKTIAN :

1.  BUKTI LANGSUNG

Digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan berbentuk implikasi   dimana diketahui  TRUE. Jadi cukup ditunjukkan  TRUE.

CONTOH: Buktikan jika  ganjil maka  ganjil.

BUKTI: Di sini ganjil, jadi dapat disajikan sebagai

 untuk suatu bilangan bulat . Selanjutnya dengan fakta ini dibuktikan kebenaran pernyataan

 ganjil. Diperhatikan

.

Bentuk terakhir ini menunjukkan bahwa  juga ganjil. BUKTI SELESAI.

2.  BUKTI KOSONG

Digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan berbentuk implikasi   dimana diketahui  FALSE. Karena itu secara otomatis implikasi   TRUE. Jadi cukup dijelaskan mengapa  FALSE.

CONTOH: Buktikan himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari himpunan apapun.

BUKTI: Sebelumnya kita merujuk pada definisi himpunan bagian sbb:

                , yakni

Jika kondisi  maka disimpulkan .

Sekarang misalkan  dan B sebarang himpunan, dan diperhatikan bahwa pernyataan:  selalu TRUE sebab pernyataan  selalu FALSE.

3. BUKTI TRIVIAL

Digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan berbentuk implikasi   dimana diketahui  TRUE. Jadi apapun nilai , implikasi  selalu TRUE.

CONTOH: Buktikan: Jika  maka   .

BUKTI: Krn pernyataan    selalu TRUE maka pernyataan ini selalu TRUE.

4. BUKTI DENGAN KONTRADIKSI

Digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan dengan cara pertama kali mengingkari konklusinya, kemudian menemukan kontradiksi.

CONTOH: Misalkan . Buktikan maksimum A tidak ada.

BUKTI: Andai maksimum A ada, katakana maks A = p. Maka haruslah  dan akibatnya  dan . Diperoleh:

                       

Diperoleh 2 pernyataan berikut:

1.   nilai maksimum , yaitu nilai terbesar A.

2.  Ada , yaitu  dan

Kedua pernyataan ini kontradiktif, jadi pengandaian bahwa maksimum  ada tidaklah benar. BUKTI SELESAI.

CONTOH: Buktikan bahwa paling sedikit 4 dari 22 hari sebarang jatuh pada hari yang sama dalam sepekan.

BUKTI: Di sini kesimpulannya adalah berupa pernyataan

 “paling sedikit 4 hari adalah sama” .

ANDAI: kesimpulan ini tidak benar, yakni “paling banyak 3 hari yang sama”. Karena ada 7 hari berbeda dalam satu minggu maka secara total akan terdapat paling banyak

3 x 7 = 21 hari. Ini kontradiksi dengan fakta ada 22 hari yang dipilih. BUKTI SELESAI.

CONTOH: BUktikan  bilangan irrasional.

5. BUKTI EKSISTENSIAL/KEUJUDAN

Digunakan untuk membuktikan kebenaran pernyataan yang berbentuk kuantor eksistensial. Ada 2 macam bukti eksistensial, yaitu konstruktif (bentuknya dapat dilihat) dan non-konstruktif (bentuknya tidak dapat dilihat).

CONTOH: (Konstruktif) Buktikan ada bilangan bulat yang dapat ditulis sebagai jumlah pangkat tiga bilangan bulat positif dalam dua cara.

BUKTI: Ambil bilangan 1729, maka dapat ditulis

                1729 =

CONTOH: (non-konstruktif) Buktikan ada bilangan irrasional  sehingga  rasional.

BUKTI: Telah dibuktikan bahwa  irrasional. Diperhatikan bilangan  .  Bila ternyata  rasional maka bukti selesai, yaitu  Sebaliknya, bila  irrasional maka berlaku  suatu bil rasional. Untuk kasus ini diambil  dan .  

7.  BUKTI DENGAN BUKTI PENGINGKARAN

(CONTER-EXAMPLE)

Kadangkala dapat digunakan untuk menunjukkan ketidak-benaran pernyataan yang berbentuk kuantor universal. Prinsip: pernyataan  bernilai FALSE bilamana ditemu-kan paling sedikit  yang membuat  tidak benar.

CONTOH: Buktikan bahwa pernyataan “Setiap bil bulat positif merupakan jumlah kuadrat tiga bil bulat” adalah FALSE.

BUKTI: Kita coba beberapa kasus sbb

Dari beberapa contoh ini, ada dugaan pernyataan di atas TRUE. Tapi coba perhatikan bilangan 7. Apakah anda dapat menuliskan 7 sebagai jumlah kuadrat 3 bil bulat lainnya seperti di atas? Bilangan kuadrat yang memungkinkan (tidak melebih 7) adalah 0, 1, 4. Kombinasi (boleh berulang) dari ketiga bil ini tidak akan menghasilkan 7. Jadi 7 adalah contoh pengingkaran (counter example), sehingga pernyataan di atas FALSE.

8. BUKTI DENGAN INDUKSI MATEMATIKA

Misalkan  pernyataan tentang  dimana  berjalan pada himpunan bil asli N atau subsetnya. Kebenaran  bergantung dari nilai  yang diberikan.

Misalkan ada pernyataan :

 

Maka

 kesemuanya memberikan pernyataan yang TRUE. Namun untuk membuktikan bahwa proposisi ini TRUE untuk setiap bil asli  harus menggunakan metoda induksi matematika.

PRINSIP INDUKSI:

Bila S himpunan bagian dari N dengan sifat-sifat:

(i)                        

(ii)                     

Maka haruslah S=N.

METODA INDUKSI MATEMATIKA:

Misalkan diberikan fungsi proposisi , . Bila

(i)                         P(1) TRUE

(ii)                       TRUE

Maka P(n) TRUE untuk setiap

CONTOH: BUktikan  berlaku untuk setiap .

BUKTI:

(i) P(1):  TRUE

(ii) Diketahui P(k) TRUE, yaitu

Diperhatikan P(k+1):

                                                               

yakni P(k+1) TRUE. Jadi P(n) berlaku untuk setiap